関数 $f(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 2)$ における勾配ベクトル $\nabla f(1, 2)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x, y) = \frac{e^y}{x^2 + y^2}$ の点 $(1, 2)$ における勾配ベクトル $\nabla f(1, 2)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x, y)$ の偏導関数 $f_x(x, y)$ と $f_y(x, y)$ を計算します。

$f_x(x, y) = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{e^y}{x^2 + y^2} \right) = e^y \frac{\partial}{\partial x} \left( (x^2 + y^2)^{-1} \right) = e^y (-1) (x^2 + y^2)^{-2} (2x) = -\frac{2xe^y}{(x^2 + y^2)^2}$

$f_y(x, y) = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{e^y}{x^2 + y^2} \right) = \frac{e^y (x^2 + y^2) - e^y (2y)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{e^y (x^2 + y^2 - 2y)}{(x^2 + y^2)^2}$

次に、これらの偏導関数に点 $(1, 2)$ の座標を代入します。

$f_x(1, 2) = -\frac{2(1)e^2}{(1^2 + 2^2)^2} = -\frac{2e^2}{(1 + 4)^2} = -\frac{2e^2}{25}$

$f_y(1, 2) = \frac{e^2 (1^2 + 2^2 - 2(2))}{(1^2 + 2^2)^2} = \frac{e^2 (1 + 4 - 4)}{(1 + 4)^2} = \frac{e^2}{25}$

したがって、勾配ベクトル $\nabla f(1, 2)$ は次のようになります。

$\nabla f(1, 2) = (f_x(1, 2), f_y(1, 2)) = \left( -\frac{2e^2}{25}, \frac{e^2}{25} \right)$

3. 最終的な答え

$\nabla f(1, 2) = \left( -\frac{2e^2}{25}, \frac{e^2}{25} \right)$