2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2x + 2$ について、定義域 $0 \le x \le 3$ における最大値と最小値、およびそのときの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 - 2x + 2 = (x - 1)^2 - 1 + 2 = (x - 1)^2 + 1$

これにより、この2次関数の頂点の座標が $(1, 1)$ であることがわかります。

次に、定義域 $0 \le x \le 3$ におけるグラフの概形を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x = 1$ で、これは定義域内に含まれています。

また、2次関数のグラフは下に凸な放物線です。

したがって、

- $x = 1$ のとき最小値をとります。 $y = (1 - 1)^2 + 1 = 1$

- $x = 0$ または $x = 3$ のとき最大値をとります。

$x = 0$ のとき $y = (0 - 1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$

$x = 3$ のとき $y = (3 - 1)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$

よって、$x = 3$ のとき最大値をとることがわかります。

3. 最終的な答え

最大値 5 ($x = 3$ のとき)

最小値 1 ($x = 1$ のとき)