大小2つのサイコロを同時に投げ、出た目の数をそれぞれ $a$, $b$ とします。このとき、$\sqrt{a+b}$ の値が有理数になる確率を求めなさい。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロを同時に投げ、出た目の数をそれぞれ $a$, $b$ とします。このとき、$\sqrt{a+b}$ の値が有理数になる確率を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、サイコロの目の数の組み合わせは、全部で $6 \times 6 = 36$ 通りあります。

次に、$\sqrt{a+b}$ が有理数になるのは、$a+b$ が平方数になる場合です。

$a$ と $b$ はそれぞれ1から6までの整数なので、$a+b$ の最小値は $1+1=2$、最大値は $6+6=12$ です。

したがって、$a+b$ がとりうる平方数は、4と9の2種類です。

(1) $a+b=4$ となる場合

$(a, b) = (1, 3), (2, 2), (3, 1)$ の3通りです。

(2) $a+b=9$ となる場合

$(a, b) = (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3)$ の4通りです。

したがって、$\sqrt{a+b}$ が有理数になるのは、合計で $3+4=7$ 通りです。

求める確率は、$\frac{7}{36}$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{7}{36}$