問題は、無理数に関する会話文の空欄を埋め、さらに、会話文中の発言が正しい理由を説明するものです。具体的には以下の3つの問いに答えます。 (1) 会話文中の空欄（ア）と（イ）に当てはまる適切な値を答える。 (2) 下線部A（対角線の長さが2cmの正方形の一辺の長さは$ \sqrt{2} $cmになる）が正しい理由を、正方形の面積を使って説明する。 (3) 下線部B（$ \sqrt{3} $は2乗すると（イ）になる数だから、面積が（イ）$ cm^2 $の正方形の一辺の長さが$ \sqrt{3} $cmになる）が正しい理由を説明する。

1. 問題の内容

問題は、無理数に関する会話文の空欄を埋め、さらに、会話文中の発言が正しい理由を説明するものです。具体的には以下の3つの問いに答えます。

(1) 会話文中の空欄（ア）と（イ）に当てはまる適切な値を答える。

(2) 下線部A（対角線の長さが2cmの正方形の一辺の長さは$\sqrt{2}$cmになる）が正しい理由を、正方形の面積を使って説明する。

(3) 下線部B（$\sqrt{3}$は2乗すると（イ）になる数だから、面積が（イ）$cm^2$の正方形の一辺の長さが$\sqrt{3}$cmになる）が正しい理由を説明する。

2. 解き方の手順

(1) 空欄（ア）について:

半径$\frac{1}{2}$cmの円の円周の長さは、$2 \pi r$で計算できます。ここで、$r = \frac{1}{2}$なので、円周の長さは$2 \pi \times \frac{1}{2} = \pi$cmとなります。

空欄（イ）について:

$\sqrt{3}$を2乗すると、$(\sqrt{3})^2 = 3$です。

したがって、面積が3$cm^2$の正方形の一辺の長さは$\sqrt{3}$cmとなります。

(2) 下線部Aの理由について:

対角線の長さが2cmの正方形を考えます。正方形の一辺の長さを$x$cmとすると、三平方の定理より、$x^2 + x^2 = 2^2$となります。

これを解くと、$2x^2 = 4$、$x^2 = 2$、$x = \sqrt{2}$cmとなります。

正方形の面積は$x^2$で表され、$x^2 = 2$であることから、正方形の一辺の長さは$\sqrt{2}$cmとなります。

(3) 下線部Bの理由について:

正方形の面積は、一辺の長さを2乗することで求められます。つまり、一辺の長さが$\sqrt{3}$cmの正方形の面積は、$(\sqrt{3})^2 = 3$ $cm^2$となります。逆に、面積が3$cm^2$の正方形の一辺の長さは$\sqrt{3}$cmとなります。

3. 最終的な答え

(1) (ア): $\pi$, (イ): 3

(2) 対角線の長さが2cmの正方形の一辺を$x$とすると、$x^2 + x^2 = 2^2$が成り立つ。これを解くと、$x = \sqrt{2}$となる。

(3) 一辺の長さが$\sqrt{3}$cmの正方形の面積は$(\sqrt{3})^2 = 3$ $cm^2$であるから。