確率変数 $X$ の分散が $\frac{5}{36}$ であるとき、確率変数 $Y = 2X - 3$ の分散を求めなさい。

1. 問題の内容

確率変数 $X$ の分散が $\frac{5}{36}$ であるとき、確率変数 $Y = 2X - 3$ の分散を求めなさい。

2. 解き方の手順

確率変数 $X$ の分散を $V(X)$ と表し、確率変数 $Y$ の分散を $V(Y)$ と表す。

問題文より、$V(X) = \frac{5}{36}$ である。

$Y = 2X - 3$ であるから、分散の性質より、

$V(Y) = V(2X - 3)$ が成り立つ。

分散の性質として、定数 $a, b$ に対して $V(aX + b) = a^2 V(X)$ が成り立つ。

これを用いると、

$V(2X - 3) = 2^2 V(X) = 4 V(X)$

$V(X) = \frac{5}{36}$ であるから、

$V(Y) = 4 \times \frac{5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{9}$