数列 $\{a_n\}$ が次の条件で定められている。 $a_1 = 1$ $na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k \quad (n=1, 2, 3, \dots)$ この数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が次の条件で定められている。

$a_1 = 1$

$na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k \quad (n=1, 2, 3, \dots)$

この数列の第 $n$ 項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$n=1$ のとき、$1 \cdot a_2 = 2 \sum_{k=1}^{1} a_k = 2a_1 = 2 \cdot 1 = 2$ より $a_2 = 2$ となる。

次に、$n \geq 2$ のときを考える。

$na_{n+1} = 2 \sum_{k=1}^{n} a_k$ と $(n-1)a_n = 2 \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ の差を考えると、

$na_{n+1} - (n-1)a_n = 2a_n$

$na_{n+1} = (n+1)a_n$

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{n+1}{n}$

$a_{n+1} = \frac{n+1}{n}a_n$

したがって、$a_n = \frac{n}{n-1}a_{n-1} = \frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n-2}a_{n-2} = \dots = \frac{n}{n-1}\frac{n-1}{n-2} \dots \frac{3}{2} a_2 = \frac{n}{2} \cdot 2 = n$

よって、$a_n = n \quad (n \geq 2)$ である。

$n=1$ のとき、$a_1 = 1$ なので、$a_n = n$ は $n=1$ のときも成立する。

3. 最終的な答え

$a_n = n$