2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$5\alpha$、$5\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$5\alpha$、$5\beta$ を解とする $x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式 $x^2 + 2x + 3 = 0$ の解が $\alpha$、$\beta$ であるから、解と係数の関係より

$\alpha + \beta = -2$

$\alpha \beta = 3$

である。

求める2次方程式の解は $5\alpha$、$5\beta$ であるから、解と係数の関係より、解の和と積はそれぞれ

$5\alpha + 5\beta = 5(\alpha + \beta) = 5(-2) = -10$

$(5\alpha)(5\beta) = 25\alpha\beta = 25(3) = 75$

となる。

$x^2$ の係数が 1 である2次方程式は

$x^2 - (\text{解の和})x + (\text{解の積}) = 0$

で表されるので、求める2次方程式は

$x^2 - (-10)x + 75 = 0$

$x^2 + 10x + 75 = 0$

となる。

3. 最終的な答え

$x^2 + 10x + 75 = 0$