2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha+1, \beta+1$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\alpha+1, \beta+1$ を解とし、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-x^2 + 3x + 2 = 0$ を変形して、$x^2 - 3x - 2 = 0$ とします。解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 3$

$\alpha \beta = -2$

次に、$\alpha+1$ と $\beta+1$ を解とする2次方程式を考えます。その方程式を $x^2 + px + q = 0$ とすると、解と係数の関係から、

$(\alpha+1) + (\beta+1) = -p$

$(\alpha+1)(\beta+1) = q$

となります。ここで、

$(\alpha+1) + (\beta+1) = \alpha + \beta + 2 = 3 + 2 = 5$

$(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = -2 + 3 + 1 = 2$

したがって、

$-p = 5 \Rightarrow p = -5$

$q = 2$

求める2次方程式は、$x^2 - 5x + 2 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x^2 - 5x + 2 = 0$