2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha - 1$、$\beta - 1$ を解とし、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\alpha - 1$、$\beta - 1$ を解とし、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

$\alpha$、$\beta$ は $2x^2 + 4x + 1 = 0$ の解であるから、解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -\frac{4}{2} = -2$$

$$\alpha \beta = \frac{1}{2}$$

$\alpha - 1$、$\beta - 1$ を解とする2次方程式で、$x^2$ の係数が1であるものは、

$$(x - (\alpha - 1))(x - (\beta - 1)) = 0$$

展開して整理すると、

$$x^2 - (\alpha - 1 + \beta - 1)x + (\alpha - 1)(\beta - 1) = 0$$

$$x^2 - (\alpha + \beta - 2)x + (\alpha\beta - (\alpha + \beta) + 1) = 0$$

ここで、$\alpha + \beta = -2$、$\alpha \beta = \frac{1}{2}$ を代入すると、

$$x^2 - (-2 - 2)x + (\frac{1}{2} - (-2) + 1) = 0$$

$$x^2 + 4x + \frac{1}{2} + 2 + 1 = 0$$

$$x^2 + 4x + \frac{7}{2} = 0$$

3. 最終的な答え

$x^2 + 4x + \frac{7}{2} = 0$