大小2つのサイコロA, Bを同時に1回投げるとき、Aの出た目の数を$a$, Bの出た目の数を$b$とする。$\sqrt{2a+3b}$が整数となる確率を求めよ。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロA, Bを同時に1回投げるとき、Aの出た目の数を$a$, Bの出た目の数を$b$とする。$\sqrt{2a+3b}$が整数となる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

$a$と$b$はそれぞれ1から6までの整数である。$\sqrt{2a+3b}$が整数となるためには、$2a+3b$が平方数（整数の二乗）になる必要がある。

$a$と$b$の組み合わせを全て試し、$2a+3b$が平方数になるものを探す。

$a$の最小値は1、最大値は6、$b$の最小値は1、最大値は6である。

したがって、$2a+3b$の最小値は$2(1)+3(1)=5$、最大値は$2(6)+3(6)=12+18=30$となる。

よって、$2a+3b$が取りうる平方数は、9, 16, 25である。

(1) $2a+3b = 9$となる場合

$2a = 9-3b$

$a = \frac{9-3b}{2}$

$a$が整数となるためには、$9-3b$が偶数でなければならない。

$b$が奇数のとき、$9-3b$は偶数となる。

$b = 1$のとき、$a = (9-3)/2 = 3$

$b = 3$のとき、$a = (9-9)/2 = 0$　これは$a$の範囲外

$b = 5$のとき、$a = (9-15)/2 = -3$　これも$a$の範囲外

したがって、$(a,b) = (3,1)$のみ

(2) $2a+3b = 16$となる場合

$2a = 16-3b$

$a = \frac{16-3b}{2}$

$a$が整数となるためには、$16-3b$が偶数でなければならない。

$b$が偶数のとき、$16-3b$は偶数となる。

$b = 2$のとき、$a = (16-6)/2 = 5$

$b = 4$のとき、$a = (16-12)/2 = 2$

$b = 6$のとき、$a = (16-18)/2 = -1$　これは$a$の範囲外

したがって、$(a,b) = (5,2), (2,4)$

(3) $2a+3b = 25$となる場合

$2a = 25-3b$

$a = \frac{25-3b}{2}$

$a$が整数となるためには、$25-3b$が偶数でなければならない。

$b$が奇数のとき、$25-3b$は偶数となる。

$b = 1$のとき、$a = (25-3)/2 = 11$　これは$a$の範囲外

$b = 3$のとき、$a = (25-9)/2 = 8$　これも$a$の範囲外

$b = 5$のとき、$a = (25-15)/2 = 5$

したがって、$(a,b) = (5,5)$

条件を満たすのは、$(3,1), (5,2), (2,4), (5,5)$の4通りである。

サイコロの目の出方の総数は$6 \times 6 = 36$通りである。

したがって、求める確率は$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{9}$