大小2つのサイコロA, Bを同時に1回投げます。Aの出た目の数を$a$, Bの出た目の数を$b$とするとき、$\sqrt{2a+3b}$が整数となる確率を求めます。

1. 問題の内容

大小2つのサイコロA, Bを同時に1回投げます。Aの出た目の数を$a$, Bの出た目の数を$b$とするとき、$\sqrt{2a+3b}$が整数となる確率を求めます。

2. 解き方の手順

$a$と$b$はそれぞれ1から6までの整数です。$\sqrt{2a+3b}$が整数になるためには、$2a+3b$が平方数でなければなりません。$2a$の最小値は$2 \times 1 = 2$、最大値は$2 \times 6 = 12$です。$3b$の最小値は$3 \times 1 = 3$、最大値は$3 \times 6 = 18$です。したがって、$2a+3b$の最小値は$2+3=5$、最大値は$12+18=30$です。

$2a+3b$がとりうる平方数は、5以上30以下の範囲にある整数なので、$9, 16, 25$です。

(i) $2a+3b = 9$のとき

$2a = 9 - 3b$より、$2a$は偶数なので、$9-3b$も偶数でなければなりません。したがって、$3b$は奇数となり、$b$は奇数でなければなりません。$b=1, 3, 5$について考えます。

- $b=1$のとき、$2a = 9 - 3(1) = 6$より、$a=3$

- $b=3$のとき、$2a = 9 - 3(3) = 0$より、$a=0$となり不適

- $b=5$のとき、$2a = 9 - 3(5) = -6$より、$a=-3$となり不適

したがって、$a=3, b=1$の1通り。

(ii) $2a+3b = 16$のとき

$2a = 16 - 3b$より、$2a$は偶数なので、$16-3b$も偶数でなければなりません。したがって、$3b$は偶数となり、$b$は偶数でなければなりません。$b=2, 4, 6$について考えます。

- $b=2$のとき、$2a = 16 - 3(2) = 10$より、$a=5$

- $b=4$のとき、$2a = 16 - 3(4) = 4$より、$a=2$

- $b=6$のとき、$2a = 16 - 3(6) = -2$より、$a=-1$となり不適

したがって、$a=5, b=2$と$a=2, b=4$の2通り。

(iii) $2a+3b = 25$のとき

$2a = 25 - 3b$より、$2a$は偶数なので、$25-3b$も偶数でなければなりません。したがって、$3b$は奇数となり、$b$は奇数でなければなりません。$b=1, 3, 5$について考えます。

- $b=1$のとき、$2a = 25 - 3(1) = 22$より、$a=11$となり不適

- $b=3$のとき、$2a = 25 - 3(3) = 16$より、$a=8$となり不適

- $b=5$のとき、$2a = 25 - 3(5) = 10$より、$a=5$

したがって、$a=5, b=5$の1通り。

以上より、$2a+3b$が平方数となるのは、$(a,b) = (3,1), (5,2), (2,4), (5,5)$の4通りです。

サイコロの目の出方は全部で$6 \times 6 = 36$通りなので、求める確率は$\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$です。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{9}$