9人を指定された人数構成のグループに分ける方法の数を求めます。 (1) 4人、3人、2人のグループに分ける方法 (2) 3人ずつ、A, B, Cのグループに分ける方法 (3) 3人ずつ3つのグループに分ける方法 (4) 5人、2人、2人のグループに分ける方法

1. 問題の内容

9人を指定された人数構成のグループに分ける方法の数を求めます。

(1) 4人、3人、2人のグループに分ける方法

(2) 3人ずつ、A, B, Cのグループに分ける方法

(3) 3人ずつ3つのグループに分ける方法

(4) 5人、2人、2人のグループに分ける方法

2. 解き方の手順

(1) 4人、3人、2人のグループに分ける方法

まず9人から4人を選び、次に残りの5人から3人を選び、最後に残りの2人から2人を選びます。

$$$$

{}_9C_4 \times {}_5C_3 \times {}_2C_2 = \frac{9!}{4!5!} \times \frac{5!}{3!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{4!3!2!}

$$$$

$$$$

= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(2 \times 1)} = 126 \times 10 \times 1 = 1260

$$$$

(2) 3人ずつ、A, B, Cのグループに分ける方法

まず9人からAグループの3人を選び、次に残りの6人からBグループの3人を選び、最後に残りの3人からCグループの3人を選びます。

$$$$

{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3 = \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!}

$$$$

$$$$

= \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} = 84 \times 20 \times 1 = 1680

$$$$

(3) 3人ずつ3つのグループに分ける方法

まず9人から3人を選び、次に残りの6人から3人を選び、最後に残りの3人から3人を選びます。

ただし、グループに区別がないため、3つのグループの並び順を考慮する必要はありません。したがって、3!で割る必要があります。

$$$$

\frac{{}_9C_3 \times {}_6C_3 \times {}_3C_3}{3!} = \frac{1}{3!} \times \frac{9!}{3!6!} \times \frac{6!}{3!3!} \times \frac{3!}{3!0!} = \frac{9!}{3!3!3!3!}

$$$$

$$$$

= \frac{1680}{3 \times 2 \times 1} = 280

$$$$

(4) 5人、2人、2人のグループに分ける方法

まず9人から5人を選び、次に残りの4人から2人を選び、最後に残りの2人から2人を選びます。

ただし、2つの2人のグループには区別がないため、2!で割る必要があります。

$$$$

\frac{{}_9C_5 \times {}_4C_2 \times {}_2C_2}{2!} = \frac{1}{2!} \times \frac{9!}{5!4!} \times \frac{4!}{2!2!} \times \frac{2!}{2!0!} = \frac{9!}{5!2!2!2!}

$$$$

$$$$

= \frac{1}{2} \times \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} \times 1 = \frac{126 \times 6}{2} = \frac{756}{2} = 378

$$$$

3. 最終的な答え

(1) 1260通り

(2) 1680通り

(3) 280通り

(4) 378通り