$\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $|3\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ が与えられている。 このとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求め、さらに $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ があり、$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$, $|3\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ が与えられている。

このとき、$\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求め、さらに $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき、$\cos \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$|3\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{3}$ の両辺を2乗する。

$(3\vec{a} - \vec{b}) \cdot (3\vec{a} - \vec{b}) = (\sqrt{3})^2$

$9\vec{a} \cdot \vec{a} - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b} = 3$

$9|\vec{a}|^2 - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 3$

$|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 2$ を代入する。

$9(1)^2 - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + (2)^2 = 3$

$9 - 6\vec{a} \cdot \vec{b} + 4 = 3$

$13 - 6\vec{a} \cdot \vec{b} = 3$

$6\vec{a} \cdot \vec{b} = 10$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

次に、$\cos \theta$ を求める。

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos \theta$

$\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$\cos \theta = \frac{5/3}{1 \cdot 2} = \frac{5/3}{2} = \frac{5}{6}$

3. 最終的な答え

$\vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{5}{3}$

$\cos \theta = \frac{5}{6}$