極方程式 $r \cos^2 \theta = \sin \theta$ を直交座標の方程式 $y = \text{ア} x^{\text{イ}}$ の形に変換する。

## Q8

1. 問題の内容

極方程式 $r \cos^2 \theta = \sin \theta$ を直交座標の方程式 $y = \text{ア} x^{\text{イ}}$ の形に変換する。

2. 解き方の手順

極座標と直交座標の関係は以下の通りです。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

$r^2 = x^2 + y^2$

与えられた極方程式 $r \cos^2 \theta = \sin \theta$ に $r$ をかけると、

$r^2 \cos^2 \theta = r \sin \theta$

$(r \cos \theta)^2 = r \sin \theta$

$x^2 = y$

したがって、$y = x^2$ となる。

3. 最終的な答え

ア：1

イ：2

## Q9

1. 問題の内容

極座標で表される2点 $A(2, \frac{\pi}{6})$ と $B(5, \frac{5\pi}{6})$ の間の距離 $AB$ を求める。

2. 解き方の手順

極座標で表される2点 $A(r_1, \theta_1)$ と $B(r_2, \theta_2)$ の間の距離は、以下の式で計算できます。

$AB = \sqrt{r_1^2 + r_2^2 - 2r_1r_2 \cos(\theta_2 - \theta_1)}$

今回の問題では、$r_1 = 2$, $\theta_1 = \frac{\pi}{6}$, $r_2 = 5$, $\theta_2 = \frac{5\pi}{6}$ なので、

$\theta_2 - \theta_1 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$

$\cos(\frac{2\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$

したがって、

$AB = \sqrt{2^2 + 5^2 - 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot (-\frac{1}{2})} = \sqrt{4 + 25 + 10} = \sqrt{39}$

3. 最終的な答え

$AB = \sqrt{39}$