3つのサイコロを投げたとき、出る目の数の和が11になる場合の数を求めます。ただし、サイコロは区別せず、目の数だけを区別します。

1. 問題の内容

3つのサイコロを投げたとき、出る目の数の和が11になる場合の数を求めます。ただし、サイコロは区別せず、目の数だけを区別します。

2. 解き方の手順

3つのサイコロの目をそれぞれ$x$, $y$, $z$とします。

$x + y + z = 11$となる整数の組$(x, y, z)$を求めます。

ただし、$1 \le x \le 6$, $1 \le y \le 6$, $1 \le z \le 6$を満たします。

まず、$x', y', z'$を、$x' = x-1$, $y' = y-1$, $z' = z-1$と定義します。

このとき、$0 \le x' \le 5$, $0 \le y' \le 5$, $0 \le z' \le 5$となり、

$x' + y' + z' = x-1 + y-1 + z-1 = x+y+z - 3 = 11 - 3 = 8$となります。

$x' + y' + z' = 8$を満たす非負整数の組$(x', y', z')$の数を求めます。

上限がない場合、これは$\binom{8+3-1}{3-1} = \binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = 45$通りです。

ただし、$x' \le 5$, $y' \le 5$, $z' \le 5$という制約があります。

$x' \ge 6$の場合、$x' = 6 + x''$とおくと、$x'' + y' + z' = 2$となり、$\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$通り。

同様に、$y' \ge 6$の場合と、$z' \ge 6$の場合もそれぞれ6通りあります。

したがって、少なくとも1つが6以上となる場合の数は$6 \times 3 = 18$通り。

$x' \ge 6$ かつ $y' \ge 6$となることはありません。なぜなら$x' + y' \ge 12 > 8$だからです。

同様に他の組み合わせでもありえません。

したがって、求める場合の数は、$45 - 18 = 27$通りとなります。

しかし、問題ではサイコロは区別しないとあります。

$x + y + z = 11$ となる組み合わせを全て書き出します。

(1, 4, 6), (1, 5, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (3, 3, 5), (3, 4, 4)

よって、全部で6通りとなります。

3. 最終的な答え

6通り