与えられた不等式を解く問題です。不等式は、$|2x + 1| \le |2x - 1| + x$ です。

1. 問題の内容

与えられた不等式を解く問題です。不等式は、$|2x + 1| \le |2x - 1| + x$ です。

2. 解き方の手順

絶対値を含む不等式なので、場合分けをして解きます。

まず、$2x+1$ と $2x-1$ の符号が変化する点を探します。

$2x+1=0$ より $x = -\frac{1}{2}$

$2x-1=0$ より $x = \frac{1}{2}$

したがって、$x$ の範囲を以下の3つの場合に分けて考えます。

(1) $x < -\frac{1}{2}$ のとき

このとき、$2x+1 < 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、不等式は

$-(2x+1) \le -(2x-1) + x$

$-2x - 1 \le -2x + 1 + x$

$-1 \le 1 + x$

$x \ge -2$

したがって、$-2 \le x < -\frac{1}{2}$

(2) $-\frac{1}{2} \le x < \frac{1}{2}$ のとき

このとき、$2x+1 \ge 0$ かつ $2x-1 < 0$ なので、不等式は

$2x+1 \le -(2x-1) + x$

$2x + 1 \le -2x + 1 + x$

$2x + 1 \le -x + 1$

$3x \le 0$

$x \le 0$

したがって、$-\frac{1}{2} \le x \le 0$

(3) $x \ge \frac{1}{2}$ のとき

このとき、$2x+1 > 0$ かつ $2x-1 \ge 0$ なので、不等式は

$2x+1 \le 2x-1 + x$

$2x + 1 \le 3x - 1$

$2 \le x$

したがって、$x \ge 2$

上記(1), (2), (3)で求めた範囲を合わせると、 $-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$ となります。

したがって、$-2 \le x \le 0$ と $x \ge 2$ を合わせた範囲が解となります。

3. 最終的な答え

$-2 \le x \le 0$ または $x \ge 2$