2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha}$、$\frac{1}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

1. 問題の内容

2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ の2つの解を $\alpha$、$\beta$ とするとき、$\frac{1}{\alpha}$、$\frac{1}{\beta}$ を解とし、$x^2$ の係数が1の2次方程式を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $-x^2 + 4x + 2 = 0$ を $x^2 - 4x - 2 = 0$ と変形します。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = 4$

$\alpha \beta = -2$

です。

次に、$\frac{1}{\alpha}$、$\frac{1}{\beta}$ を解とする2次方程式を考えます。

解と係数の関係より、2つの解の和と積を計算します。

和: $\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta} = \frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta} = \frac{4}{-2} = -2$

積: $\frac{1}{\alpha} \cdot \frac{1}{\beta} = \frac{1}{\alpha \beta} = \frac{1}{-2} = -\frac{1}{2}$

$x^2$ の係数が1である2次方程式は、解の和を $s$、積を $p$ とすると、$x^2 - sx + p = 0$ と表せます。

したがって、求める2次方程式は、

$x^2 - (-2)x + (-\frac{1}{2}) = 0$

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$

両辺に2をかけて整理すると、

$2x^2 + 4x - 1 = 0$

となります。

問題文より、$x^2$の係数が1である2次方程式を求めるので、上記の式を2で割って、

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x - \frac{1}{2} = 0$