2次方程式 $2x^2+8x+1=0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta}$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2+8x+1=0$ の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、$\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta}$ を解にもち、$x^2$ の係数が1である2次方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 解と係数の関係より、$\alpha + \beta$ と $\alpha \beta$ の値を求めます。

$2x^2+8x+1=0$ より、

$\alpha + \beta = -\frac{8}{2} = -4$

$\alpha \beta = \frac{1}{2}$

(2) $\frac{2}{\alpha}, \frac{2}{\beta}$ を解とする2次方程式を求めます。

解と係数の関係より、

$\frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = \frac{2\beta + 2\alpha}{\alpha\beta} = \frac{2(\alpha + \beta)}{\alpha\beta} = \frac{2(-4)}{\frac{1}{2}} = -16$

$\frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = \frac{4}{\alpha\beta} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8$

(3) $x^2$ の係数が1である2次方程式は、2つの解の和を $S$、積を $P$ とすると、$x^2 - Sx + P = 0$ と表されるので、

$S = \frac{2}{\alpha} + \frac{2}{\beta} = -16$

$P = \frac{2}{\alpha} \cdot \frac{2}{\beta} = 8$

より、求める2次方程式は $x^2 - (-16)x + 8 = 0$、すなわち $x^2 + 16x + 8 = 0$ となります。

3. 最終的な答え

$x^2 + 16x + 8 = 0$