次の2つの2次関数の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。 (1) $y = -2x^2 - 4x + 1 \quad (-2 \le x \le 1)$ (2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 5 \quad (6 \le x \le 8)$

1. 問題の内容

次の2つの2次関数の最大値と最小値を求め、そのときの $x$ の値を求める。

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1 \quad (-2 \le x \le 1)$

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 5 \quad (6 \le x \le 8)$

2. 解き方の手順

(1) $y = -2x^2 - 4x + 1$

まず、平方完成を行う。

$y = -2(x^2 + 2x) + 1$

$y = -2(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -2((x + 1)^2 - 1) + 1$

$y = -2(x + 1)^2 + 2 + 1$

$y = -2(x + 1)^2 + 3$

これは、頂点が $(-1, 3)$ の上に凸の放物線である。

範囲 $-2 \le x \le 1$ における最大値と最小値を考える。

$x = -1$ は範囲内にあるので、最大値は $y = 3$ ($x = -1$ のとき)。

範囲の端点である $x = -2$ と $x = 1$ での値を計算する。

$x = -2$ のとき、$y = -2(-2+1)^2 + 3 = -2(1) + 3 = 1$

$x = 1$ のとき、$y = -2(1+1)^2 + 3 = -2(4) + 3 = -8 + 3 = -5$

よって、最小値は $y = -5$ ($x = 1$ のとき)。

(2) $y = \frac{1}{2}x^2 - 4x + 5$

平方完成を行う。

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 8x) + 5$

$y = \frac{1}{2}(x^2 - 8x + 16 - 16) + 5$

$y = \frac{1}{2}((x - 4)^2 - 16) + 5$

$y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 - 8 + 5$

$y = \frac{1}{2}(x - 4)^2 - 3$

これは、頂点が $(4, -3)$ の下に凸の放物線である。

範囲 $6 \le x \le 8$ における最大値と最小値を考える。

頂点 $x = 4$ は範囲外なので、端点の値を調べる。

$x = 6$ のとき、$y = \frac{1}{2}(6 - 4)^2 - 3 = \frac{1}{2}(4) - 3 = 2 - 3 = -1$

$x = 8$ のとき、$y = \frac{1}{2}(8 - 4)^2 - 3 = \frac{1}{2}(16) - 3 = 8 - 3 = 5$

よって、最小値は $y = -1$ ($x = 6$ のとき)。

最大値は $y = 5$ ($x = 8$ のとき)。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: $3$ ($x = -1$), 最小値: $-5$ ($x = 1$)

(2) 最大値: $5$ ($x = 8$), 最小値: $-1$ ($x = 6$)