媒介変数 $t$ で表された曲線 $\begin{cases} x = 3(t + \frac{1}{t}) + 1 \\ y = t - \frac{1}{t} \end{cases}$ が双曲線であることを示し、その標準形 $\frac{(x - ア)^2}{イ} - \frac{y^2}{ウ} = エ$ における $ア$, $イ$, $ウ$, $エ$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表された曲線

$\begin{cases}

x = 3(t + \frac{1}{t}) + 1 \\

y = t - \frac{1}{t}

\end{cases}$

が双曲線であることを示し、その標準形

$\frac{(x - ア)^2}{イ} - \frac{y^2}{ウ} = エ$

における $ア$, $イ$, $ウ$, $エ$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の式を整理します。

$x = 3(t + \frac{1}{t}) + 1$

$x - 1 = 3(t + \frac{1}{t})$

$\frac{x - 1}{3} = t + \frac{1}{t}$

次に、$y$ の式から、$y^2$ を計算します。

$y = t - \frac{1}{t}$

$y^2 = (t - \frac{1}{t})^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}$

$\frac{x - 1}{3} = t + \frac{1}{t}$ の両辺を2乗すると、

$(\frac{x - 1}{3})^2 = (t + \frac{1}{t})^2 = t^2 + 2 + \frac{1}{t^2}$

$t^2 + \frac{1}{t^2} = (\frac{x - 1}{3})^2 - 2$

これを $y^2 = t^2 - 2 + \frac{1}{t^2}$ に代入すると、

$y^2 = (\frac{x - 1}{3})^2 - 2 - 2$

$y^2 = (\frac{x - 1}{3})^2 - 4$

移項して、

$(\frac{x - 1}{3})^2 - y^2 = 4$

両辺を4で割ると、双曲線の標準形になります。

$\frac{(\frac{x - 1}{3})^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1$

$\frac{(x - 1)^2}{36} - \frac{y^2}{4} = 1$

したがって、$ア = 1$, $イ = 36$, $ウ = 4$, $エ = 1$ です。

3. 最終的な答え

ア = 1

イ = 36

ウ = 4

エ = 1