$x^4 - 49$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解してください。

1. 問題の内容

$x^4 - 49$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 49$ を因数分解します。

$x^4 - 49$ は $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ の形なので、

$x^4 - 49 = (x^2 - 7)(x^2 + 7)$

(1) 有理数の範囲

係数が有理数である必要があるので、$x^2 - 7$ はこれ以上因数分解できません。

$x^2 + 7$ も同様です。

したがって、有理数の範囲での因数分解は $(x^2 - 7)(x^2 + 7)$ となります。

(2) 実数の範囲

$x^2 - 7$ は $x^2 = 7$ となる実数解 $x = \pm \sqrt{7}$ を持つので、

$x^2 - 7 = (x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})$ と因数分解できます。

$x^2 + 7$ は $x^2 = -7$ となる実数解を持たないので、これ以上実数の範囲では因数分解できません。

したがって、実数の範囲での因数分解は $(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})(x^2 + 7)$ となります。

(3) 複素数の範囲

$x^2 + 7$ は $x^2 = -7$ となる複素数解 $x = \pm \sqrt{7}i$ を持つので、

$x^2 + 7 = (x - \sqrt{7}i)(x + \sqrt{7}i)$ と因数分解できます。

したがって、複素数の範囲での因数分解は $(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7}i)(x + \sqrt{7}i)$ となります。

3. 最終的な答え

有理数： $(x^2 - 7)(x^2 + 7)$

実数： $(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})(x^2 + 7)$

複素数： $(x - \sqrt{7})(x + \sqrt{7})(x - \sqrt{7}i)(x + \sqrt{7}i)$