3次式 $18x^3 + 3x^2 - 7x - 2$ を因数分解してください。

1. 問題の内容

3次式 $18x^3 + 3x^2 - 7x - 2$ を因数分解してください。

2. 解き方の手順

まず、与えられた3次式を $P(x) = 18x^3 + 3x^2 - 7x - 2$ とします。

$P(x) = 0$ となるような $x$ の値を探します。候補としては、定数項 -2 の約数（$\pm 1, \pm 2$）を最高次の係数 18 の約数（$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18$）で割ったものが考えられます。

試しに $x = \frac{1}{3}$ を代入してみます。

$P(\frac{1}{3}) = 18(\frac{1}{3})^3 + 3(\frac{1}{3})^2 - 7(\frac{1}{3}) - 2 = 18 \cdot \frac{1}{27} + 3 \cdot \frac{1}{9} - \frac{7}{3} - 2 = \frac{2}{3} + \frac{1}{3} - \frac{7}{3} - \frac{6}{3} = \frac{3 - 13}{3} = -\frac{10}{3} \neq 0$

次に $x = -\frac{1}{2}$ を代入してみます。

$P(-\frac{1}{2}) = 18(-\frac{1}{2})^3 + 3(-\frac{1}{2})^2 - 7(-\frac{1}{2}) - 2 = 18(-\frac{1}{8}) + 3(\frac{1}{4}) + \frac{7}{2} - 2 = -\frac{9}{4} + \frac{3}{4} + \frac{14}{4} - \frac{8}{4} = \frac{-9 + 3 + 14 - 8}{4} = \frac{0}{4} = 0$

したがって、$x = -\frac{1}{2}$ が $P(x) = 0$ の解の1つであることがわかります。

したがって、$P(x)$ は $(2x + 1)$ を因数に持ちます。

次に、$P(x)$ を $(2x + 1)$ で割ります。

$18x^3 + 3x^2 - 7x - 2 = (2x + 1)(9x^2 - 3x - 2)$

次に、二次式 $9x^2 - 3x - 2$ を因数分解します。

$9x^2 - 3x - 2 = (3x - 2)(3x + 1)$

したがって、$P(x) = (2x + 1)(3x - 2)(3x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x+1)(3x-2)(3x+1)$