問題は2つあります。 (1) 2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形すること。 (2) $-1 \le x \le 0$ の範囲における、2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の最大値と最小値を求めること。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ を $y = a(x-p)^2 + q$ の形に変形すること。

(2) $-1 \le x \le 0$ の範囲における、2次関数 $y = 2x^2 - 2x + 1$ の最大値と最小値を求めること。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 - 2x + 1$ を平方完成します。

$y = 2(x^2 - x) + 1$

$y = 2(x^2 - x + (\frac{1}{2})^2 - (\frac{1}{2})^2) + 1$

$y = 2((x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 1$

$y = 2(x - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 1$

$y = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$

(2) $-1 \le x \le 0$ における $y = 2x^2 - 2x + 1$ の最大値と最小値を求めます。

平方完成した式 $y = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$ より、軸は $x = \frac{1}{2}$ です。

$-1 \le x \le 0$ の範囲では、軸 $x = \frac{1}{2}$ は範囲外です。

$x = -1$ のとき、$y = 2(-1)^2 - 2(-1) + 1 = 2 + 2 + 1 = 5$

$x = 0$ のとき、$y = 2(0)^2 - 2(0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$

したがって、$x = -1$ のとき最大値 $y = 5$ をとり、$x = 0$ のとき最小値 $y = 1$ をとります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 2(x - \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{2}$

(2) $x = -1$ のとき、最大値 $y = 5$

(3) $x = 0$ のとき、最小値 $y = 1$