$x^3 + ax^2 - 4x - b$ が $x^2 + x - 6$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

$x^3 + ax^2 - 4x - b$ が $x^2 + x - 6$ で割り切れるように、定数 $a, b$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$x^2 + x - 6$ を因数分解すると、 $(x+3)(x-2)$ となる。

$x^3 + ax^2 - 4x - b$ が $x^2 + x - 6$ で割り切れるとき、 $x^3 + ax^2 - 4x - b$ は $x+3$ と $x-2$ で割り切れる。つまり、$x=-3$ と $x=2$ を代入すると0になる。

$x = -3$ のとき:

$(-3)^3 + a(-3)^2 - 4(-3) - b = 0$

$-27 + 9a + 12 - b = 0$

$9a - b = 15$ ...(1)

$x = 2$ のとき:

$(2)^3 + a(2)^2 - 4(2) - b = 0$

$8 + 4a - 8 - b = 0$

$4a - b = 0$ ...(2)

(1)式と(2)式より、連立方程式を解く。

(1) - (2):

$(9a - b) - (4a - b) = 15 - 0$

$5a = 15$

$a = 3$

$a = 3$ を (2)式に代入する。

$4(3) - b = 0$

$12 - b = 0$

$b = 12$

3. 最終的な答え

$a = 3$

$b = 12$