$(4x^3 - \frac{1}{3x^2})^5$ の展開式における定数項を求めよ。

1. 問題の内容

$(4x^3 - \frac{1}{3x^2})^5$ の展開式における定数項を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いる。一般項は以下の通りである。

$_{5}C_{r} (4x^3)^{5-r} (-\frac{1}{3x^2})^{r}$

= $_{5}C_{r} 4^{5-r} x^{3(5-r)} (-\frac{1}{3})^{r} x^{-2r}$

= $_{5}C_{r} 4^{5-r} (-\frac{1}{3})^{r} x^{15-3r-2r}$

= $_{5}C_{r} 4^{5-r} (-\frac{1}{3})^{r} x^{15-5r}$

定数項を求めるので、$x$ の指数が 0 となる $r$ を探す。

$15 - 5r = 0$

$5r = 15$

$r = 3$

$r=3$ のとき、一般項は以下のようになる。

$_{5}C_{3} 4^{5-3} (-\frac{1}{3})^{3}$

= $_{5}C_{3} 4^{2} (-\frac{1}{27})$

= $\frac{5!}{3!2!} \cdot 16 \cdot (-\frac{1}{27})$

= $\frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 16 \cdot (-\frac{1}{27})$

= $10 \cdot 16 \cdot (-\frac{1}{27})$

= $-\frac{160}{27}$

3. 最終的な答え

$-\frac{160}{27}$