与えられた4次式 $x^4 - 3x^2 - 10$ を、係数の範囲を有理数、実数、複素数とした場合にそれぞれ因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4次式 $x^4 - 3x^2 - 10$ を、係数の範囲を有理数、実数、複素数とした場合にそれぞれ因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 = t$ とおくと、$t$に関する2次方程式 $t^2 - 3t - 10 = 0$ が得られます。

この2次方程式を解きます。

$t^2 - 3t - 10 = (t - 5)(t + 2) = 0$

よって、$t = 5$ または $t = -2$ となります。

$x^2 = t$ であったので、$x^2 = 5$ または $x^2 = -2$ となります。

$x^2 = 5$ より $x = \pm \sqrt{5}$

$x^2 = -2$ より $x = \pm \sqrt{-2} = \pm i\sqrt{2}$

よって、$x^4 - 3x^2 - 10 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$ となります。

有理数の範囲での因数分解：

$x^4 - 3x^2 - 10 = (x^2 - 5)(x^2 + 2)$

実数の範囲での因数分解：

$x^4 - 3x^2 - 10 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 2)$

複素数の範囲での因数分解：

$x^4 - 3x^2 - 10 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$

3. 最終的な答え

有理数：$(x^2 - 5)(x^2 + 2)$

実数：$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x^2 + 2)$

複素数：$(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - i\sqrt{2})(x + i\sqrt{2})$