$x^4 - 25$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解せよ。

1. 問題の内容

$x^4 - 25$ を係数の範囲が有理数、実数、複素数のそれぞれの場合で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^4 - 25$ を因数分解します。これは、$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ の公式を利用して、

$x^4 - 25 = (x^2)^2 - 5^2 = (x^2 + 5)(x^2 - 5)$

と分解できます。

次に、有理数の範囲で因数分解できるか考えます。

$x^2 - 5 = 0$ を解くと、$x = \pm \sqrt{5}$ となり、無理数なので、有理数の範囲では $x^2 - 5$ を因数分解できません。

$x^2 + 5 = 0$ を解くと、$x = \pm \sqrt{-5} = \pm i\sqrt{5}$ となり、虚数なので、有理数の範囲では $x^2 + 5$ を因数分解できません。

したがって、有理数の範囲では $(x^2 + 5)(x^2 - 5)$ が限界です。

次に、実数の範囲で因数分解できるか考えます。

$x^2 - 5 = 0$ を解くと、$x = \pm \sqrt{5}$ となり、実数なので、$x^2 - 5$ は $(\sqrt{5})^2$ と見なせるため、さらに $x^2 - 5 = (x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})$ と因数分解できます。

$x^2 + 5 = 0$ を解くと、$x = \pm i\sqrt{5}$ となり、虚数なので、実数の範囲では $x^2 + 5$ を因数分解できません。

したがって、実数の範囲では $(x^2 + 5)(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})$ となります。

最後に、複素数の範囲で因数分解できるか考えます。

$x^2 + 5 = 0$ を解くと、$x = \pm i\sqrt{5}$ となり、複素数なので、$x^2 + 5 = (x + i\sqrt{5})(x - i\sqrt{5})$ と因数分解できます。

したがって、複素数の範囲では $(x + i\sqrt{5})(x - i\sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})$ となります。

3. 最終的な答え

有理数: $(x^2 + 5)(x^2 - 5)$

実数: $(x^2 + 5)(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})$

複素数: $(x + i\sqrt{5})(x - i\sqrt{5})(x + \sqrt{5})(x - \sqrt{5})$