$\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x}\right)^{10}$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

$\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x}\right)^{10}$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

二項定理を用いる。二項定理より、

$$\left(\frac{x}{2} - \frac{1}{x}\right)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k \left(\frac{x}{2}\right)^{10-k} \left(-\frac{1}{x}\right)^k = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k \left(\frac{1}{2}\right)^{10-k} (-1)^k x^{10-k} x^{-k} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k \left(\frac{1}{2}\right)^{10-k} (-1)^k x^{10-2k}$$

$x^2$ の係数を知りたいので、$10-2k=2$ となる $k$ を求める。

$10-2k = 2$

$2k = 8$

$k = 4$

よって、$x^2$ の項は、$k=4$ のときであるから、

$${}_{10}C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^{10-4} (-1)^4 x^{10-2\cdot 4} = {}_{10}C_4 \left(\frac{1}{2}\right)^6 x^2 = \frac{10!}{4!6!} \frac{1}{2^6} x^2 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \frac{1}{64} x^2 = \frac{10 \cdot 3 \cdot 7}{1} \frac{1}{64} x^2 = 210 \cdot \frac{1}{64} x^2 = \frac{105}{32} x^2$$

したがって、$x^2$ の係数は $\frac{105}{32}$ である。

3. 最終的な答え

$\frac{105}{32}$