次の等式を証明する問題です。 $\frac{{n \choose 0}}{2^0} - \frac{{n \choose 1}}{2^1} + \frac{{n \choose 2}}{2^2} - \cdots + (-1)^n \frac{{n \choose n}}{2^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$

1. 問題の内容

次の等式を証明する問題です。

$\frac{{n \choose 0}}{2^0} - \frac{{n \choose 1}}{2^1} + \frac{{n \choose 2}}{2^2} - \cdots + (-1)^n \frac{{n \choose n}}{2^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$

2. 解き方の手順

二項定理 $(1+x)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k$ を利用します。

ここで、$x = -\frac{1}{2}$ とすると、

$\left(1 - \frac{1}{2}\right)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} \left(-\frac{1}{2}\right)^k$

$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k \left(\frac{1}{2}\right)^k$

$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{{n \choose k}}{2^k}$

$\left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{{n \choose 0}}{2^0} - \frac{{n \choose 1}}{2^1} + \frac{{n \choose 2}}{2^2} - \cdots + (-1)^n \frac{{n \choose n}}{2^n}$

したがって、与えられた等式は証明されました。

3. 最終的な答え

$\frac{{n \choose 0}}{2^0} - \frac{{n \choose 1}}{2^1} + \frac{{n \choose 2}}{2^2} - \cdots + (-1)^n \frac{{n \choose n}}{2^n} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ が証明されました。