すべての実数 $x$ に対して、2次不等式 $x^2 - 4x + 5 - k > 0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

すべての実数 $x$ に対して、2次不等式 $x^2 - 4x + 5 - k > 0$ が成り立つような定数 $k$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

2次不等式 $x^2 - 4x + 5 - k > 0$ がすべての実数 $x$ に対して成り立つためには、2次関数 $y = x^2 - 4x + 5 - k$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある必要があります。

これは、2次関数のグラフが下に凸である（$x^2$ の係数が正）ことと、判別式 $D$ が負であることと同値です。

与えられた2次不等式の判別式 $D$ は、

$D = (-4)^2 - 4(1)(5 - k) = 16 - 20 + 4k = 4k - 4$

です。

すべての実数 $x$ に対して $x^2 - 4x + 5 - k > 0$ が成り立つためには、$D < 0$ である必要があります。

したがって、

$4k - 4 < 0$

$4k < 4$

$k < 1$

3. 最終的な答え

$k < 1$