与えられた式 $ (x - y)^3 + 8 $ を因数分解せよ。

1. 問題の内容

与えられた式 $(x - y)^3 + 8$ を因数分解せよ。

2. 解き方の手順

この式は、$A^3 + B^3$ の形をしていることに気づきます。ここで、$A = x - y$、$B = 2$ と考えることができます。

$A^3 + B^3$ の因数分解の公式は次の通りです。

$A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$

上記の公式に、$A = x - y$、$B = 2$ を代入すると、

$(x - y)^3 + 2^3 = (x - y + 2)((x - y)^2 - (x - y)(2) + 2^2)$

となります。

次に、右辺の第2項を展開します。

$(x - y + 2)((x^2 - 2xy + y^2) - (2x - 2y) + 4)$

$(x - y + 2)(x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 2y + 4)$

3. 最終的な答え

$(x - y + 2)(x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 2y + 4)$