多項式 $P(x) = 2x^3 + ax^2 + b$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りが $5x + 2$ となるような定数 $a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

多項式 $P(x) = 2x^3 + ax^2 + b$ を $x^2 - x - 2$ で割ったときの余りが $5x + 2$ となるような定数 $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - x - 2$ を因数分解します。

$x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$

剰余の定理より、$P(2) = 5(2) + 2$ かつ $P(-1) = 5(-1) + 2$ が成り立ちます。

$P(2) = 2(2)^3 + a(2)^2 + b = 16 + 4a + b = 5(2) + 2 = 12$

$4a + b = 12 - 16 = -4$

$P(-1) = 2(-1)^3 + a(-1)^2 + b = -2 + a + b = 5(-1) + 2 = -3$

$a + b = -3 + 2 = -1$

この二つの連立方程式を解きます。

$4a + b = -4$

$a + b = -1$

上の式から下の式を引くと、

$3a = -3$

$a = -1$

$a + b = -1$ に $a = -1$ を代入すると、

$-1 + b = -1$

$b = 0$

3. 最終的な答え

$a = -1$

$b = 0$