与えられた式 $64x^6 - 1$ を因数分解する。

1. 問題の内容

与えられた式 $64x^6 - 1$ を因数分解する。

2. 解き方の手順

与えられた式を、まず二乗の差として捉え、因数分解します。

$64x^6 - 1 = (8x^3)^2 - 1^2$

二乗の差の公式 $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ を用いると、

$(8x^3)^2 - 1^2 = (8x^3 + 1)(8x^3 - 1)$

さらに、各因数をそれぞれ和の三乗、差の三乗として捉え、因数分解します。

$8x^3 + 1 = (2x)^3 + 1^3$

$8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3$

和の三乗の公式 $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ を用いると、

$(2x)^3 + 1^3 = (2x + 1)((2x)^2 - (2x)(1) + 1^2) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)$

差の三乗の公式 $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ を用いると、

$(2x)^3 - 1^3 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x)(1) + 1^2) = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$

したがって、

$(8x^3 + 1)(8x^3 - 1) = (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1)(2x - 1)(4x^2 + 2x + 1)$

3. 最終的な答え

$(2x-1)(2x+1)(4x^2-2x+1)(4x^2+2x+1)$