複素数平面上の点 $z$ が原点O(0)を中心とする半径1の円周上を動くとき、$w = \frac{z+1}{z-1}$ で決まる点 $w$ が描く図形を求める問題です。具体的には、(7) $z$ を $w$ の式で表し、(8) $z$ が原点中心、半径1の円周上を動くことから成り立つ式を求め、(9) $w$ の存在する範囲を求めます。

1. 問題の内容

複素数平面上の点 $z$ が原点O(0)を中心とする半径1の円周上を動くとき、$w = \frac{z+1}{z-1}$ で決まる点 $w$ が描く図形を求める問題です。具体的には、(7) $z$ を $w$ の式で表し、(8) $z$ が原点中心、半径1の円周上を動くことから成り立つ式を求め、(9) $w$ の存在する範囲を求めます。

2. 解き方の手順

(7) $w = \frac{z+1}{z-1}$ より、$z$ を $w$ の式で表します。

$w(z-1) = z+1$

$wz - w = z + 1$

$wz - z = w + 1$

$z(w-1) = w+1$

$z = \frac{w+1}{w-1}$

(8) $z$ が原点O(0)を中心とする半径1の円周上を動くので、 $|z| = 1$ が成り立ちます。

したがって、

$|z| = \left|\frac{w+1}{w-1}\right| = 1$

(9) $|w+1| = |w-1|$ より、$w = x + yi$ とすると、

$|x+yi+1| = |x+yi-1|$

$|(x+1) + yi| = |(x-1) + yi|$

$\sqrt{(x+1)^2 + y^2} = \sqrt{(x-1)^2 + y^2}$

$(x+1)^2 + y^2 = (x-1)^2 + y^2$

$x^2 + 2x + 1 + y^2 = x^2 - 2x + 1 + y^2$

$4x = 0$

$x = 0$

したがって、$w$ は虚軸上に存在します。すなわち、wの存在する範囲は $Re(w) = 0$ です。

3. 最終的な答え

(7) $z = \frac{w+1}{w-1}$

(8) $\left|\frac{w+1}{w-1}\right| = 1$

(9) $Re(w) = 0$