$a$ は定数とする。関数 $y = 2x^2 + 4ax$ ($0 \le x \le 2$) の最大値、最小値を、次の各場合についてそれぞれ求める。 (1) $a \le -2$ (2) $-2 < a < -1$ (3) $a = -1$ (4) $-1 < a < 0$ (5) $a \ge 0$

1. 問題の内容

$a$ は定数とする。関数 $y = 2x^2 + 4ax$ ($0 \le x \le 2$) の最大値、最小値を、次の各場合についてそれぞれ求める。

(1) $a \le -2$

(2) $-2 < a < -1$

(3) $a = -1$

(4) $-1 < a < 0$

(5) $a \ge 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成する。

$y = 2x^2 + 4ax = 2(x^2 + 2ax) = 2(x^2 + 2ax + a^2 - a^2) = 2(x+a)^2 - 2a^2$

よって、この放物線の頂点は $(-a, -2a^2)$ である。

(1) $a \le -2$ のとき、$-a \ge 2$ であるから、定義域 $0 \le x \le 2$ において関数は単調増加である。

よって、最大値は $x=2$ のときで、 $y = 2(2)^2 + 4a(2) = 8 + 8a$

最小値は $x=0$ のときで、 $y = 2(0)^2 + 4a(0) = 0$

(2) $-2 < a < -1$ のとき、$1 < -a < 2$ であるから、頂点は定義域内にある。

よって、最大値は $x=0$ のとき、 $y = 0$ か、または $x=2$ のとき $y = 8 + 8a$ のいずれかである。

$8 + 8a < 0$ なので、最大値は $x=0$ のときで $y=0$

最小値は $x=-a$ のときで、 $y = -2a^2$

(3) $a = -1$ のとき、頂点の $x$ 座標は $-a = 1$ である。

よって、最大値は $x=0$ のとき $y=0$ か、または $x=2$ のとき $y = 8 + 8(-1) = 0$ なので、最大値は $0$

最小値は $x=1$ のとき $y = -2(-1)^2 = -2$

(4) $-1 < a < 0$ のとき、$0 < -a < 1$ であるから、頂点は定義域内にある。

よって、最大値は $x=2$ のとき $y = 8 + 8a$

最小値は $x=-a$ のとき $y = -2a^2$

(5) $a \ge 0$ のとき、$-a \le 0$ であるから、定義域 $0 \le x \le 2$ において、頂点は定義域より左にある。

よって、最大値は $x=2$ のときで、 $y = 8 + 8a$

最小値は $x=0$ のときで、 $y = 0$

3. 最終的な答え

(1) $a \le -2$ のとき、最大値: $8+8a$, 最小値: $0$

(2) $-2 < a < -1$ のとき、最大値: $0$, 最小値: $-2a^2$

(3) $a = -1$ のとき、最大値: $0$, 最小値: $-2$

(4) $-1 < a < 0$ のとき、最大値: $8+8a$, 最小値: $-2a^2$

(5) $a \ge 0$ のとき、最大値: $8+8a$, 最小値: $0$