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与えられた式 $a^6 + 26a^3b^3 - 27b^6$ を因数分解します。

代数学因数分解多項式三次式
2025/6/28

1. 問題の内容

与えられた式 a6+26a3b3−27b6a^6 + 26a^3b^3 - 27b^6 を因数分解します。

2. 解き方の手順

与えられた式を x=a3x = a^3 および y=b3y = b^3 と置換すると、x2+26xy−27y2x^2 + 26xy - 27y^2 となります。
この式は二次式であり、因数分解できます。
x2+26xy−27y2x^2 + 26xy - 27y^2
=x2+27xy−xy−27y2= x^2 + 27xy - xy - 27y^2
=x(x+27y)−y(x+27y)= x(x + 27y) - y(x + 27y)
=(x−y)(x+27y)= (x - y)(x + 27y)
ここで、x=a3x = a^3 および y=b3y = b^3 を代入します。
(a3−b3)(a3+27b3)(a^3 - b^3)(a^3 + 27b^3)
a3−b3a^3 - b^3 は (a−b)(a2+ab+b2)(a-b)(a^2 + ab + b^2) に因数分解できます。
a3+27b3=a3+(3b)3a^3 + 27b^3 = a^3 + (3b)^3 は (a+3b)(a2−3ab+9b2)(a+3b)(a^2 - 3ab + 9b^2) に因数分解できます。
よって、
(a3−b3)(a3+27b3)(a^3 - b^3)(a^3 + 27b^3)
=(a−b)(a2+ab+b2)(a+3b)(a2−3ab+9b2)= (a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)

3. 最終的な答え

(a−b)(a2+ab+b2)(a+3b)(a2−3ab+9b2)(a - b)(a^2 + ab + b^2)(a + 3b)(a^2 - 3ab + 9b^2)

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