数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列は $a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ で定義されています。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その一般項を求める問題です。数列は $a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ で定義されています。

2. 解き方の手順

まず、漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ を変形し、階差数列の形にします。つまり、$a_{n+1} - a_n = 2^{n-1}$ となります。

これは、数列$\{a_n\}$の階差数列が $2^{n-1}$ であることを意味します。したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

と表すことができます。ここで、$a_1 = 3$ であり、$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$ は初項1、公比2、項数 $n-1$ の等比数列の和であるため、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

となります。したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = 3 + 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} + 2$

となります。

$n=1$のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 2 = 2^0 + 2 = 1+2 = 3$ となり、$a_1 = 3$ を満たします。

したがって、$n \ge 1$ で $a_n = 2^{n-1} + 2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + 2$