数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ および初期条件 $a_1 = 3$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ および初期条件 $a_1 = 3$ で定義されているとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$ は、階差数列の形をしている。したがって、$n \ge 2$ のとき、

$$$$

a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}

$$$$

となる。

$a_1 = 3$ であり、$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$ は初項1, 公比2, 項数 $n-1$ の等比数列の和であるから、

$$$$

\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1

$$$$

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$$$$

a_n = 3 + 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} + 2

$$$$

$n=1$ のとき、 $a_1 = 2^{1-1} + 2 = 2^0 + 2 = 1 + 2 = 3$ となり、初期条件を満たす。

よって、すべての $n \ge 1$ に対して、$a_n = 2^{n-1} + 2$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + 2$