数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$（$n = 1, 2, 3, ...$）で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 3$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 2^{n-1}$（$n = 1, 2, 3, ...$）で定義されています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

この漸化式は $a_{n+1} - a_n = 2^{n-1}$ という形をしているので、階差数列の考え方を利用します。

$n \ge 2$ のとき、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (a_{k+1} - a_k)$

が成り立ちます。与えられた漸化式を代入すると、

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$

となります。$a_1 = 3$ であることと、$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1}$ は初項 1、公比 2 の等比数列の和なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^{k-1} = \frac{1(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^{n-1} - 1$

したがって、$n \ge 2$ のとき、

$a_n = 3 + 2^{n-1} - 1 = 2^{n-1} + 2$

となります。

$n = 1$ のとき、$a_1 = 2^{1-1} + 2 = 2^0 + 2 = 1 + 2 = 3$ となり、与えられた条件と一致します。

したがって、すべての $n$ に対して、$a_n = 2^{n-1} + 2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = 2^{n-1} + 2$