問題は、以下の2次式を平方完成させることです。 (1) $x^2 - 4x + 7$ (2) $-2x^2 - 4x - 6$ (3) $2x^2 - 3x + 1$ (4) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$ (5) $(x+1)(x-3)$ (6) $-2(x-3)(x+6)$

1. 問題の内容

問題は、以下の2次式を平方完成させることです。

(1) $x^2 - 4x + 7$

(2) $-2x^2 - 4x - 6$

(3) $2x^2 - 3x + 1$

(4) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

(5) $(x+1)(x-3)$

(6) $-2(x-3)(x+6)$

2. 解き方の手順

平方完成とは、$ax^2 + bx + c$ の形の式を $a(x-p)^2 + q$ の形に変形することです。

(1) $x^2 - 4x + 7$

$x^2 - 4x$ の部分を平方完成します。$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$ となります。

したがって、$x^2 - 4x + 7 = (x-2)^2 - 4 + 7 = (x-2)^2 + 3$

(2) $-2x^2 - 4x - 6$

まず、$-2$ でくくります。$-2(x^2 + 2x) - 6$

$x^2 + 2x$ の部分を平方完成します。$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$ となります。

したがって、$-2(x^2 + 2x) - 6 = -2((x+1)^2 - 1) - 6 = -2(x+1)^2 + 2 - 6 = -2(x+1)^2 - 4$

(3) $2x^2 - 3x + 1$

まず、$2$ でくくります。$2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1$

$x^2 - \frac{3}{2}x$ の部分を平方完成します。$x^2 - \frac{3}{2}x = (x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}$ となります。

したがって、$2(x^2 - \frac{3}{2}x) + 1 = 2((x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{16}) + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{9}{8} + 1 = 2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(4) $\frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + \frac{7}{3}$

まず、$\frac{1}{3}$ でくくります。$\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3}$

$x^2 - 4x$ の部分を平方完成します。$x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4$ となります。

したがって、$\frac{1}{3}(x^2 - 4x) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}((x-2)^2 - 4) + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x-2)^2 - \frac{4}{3} + \frac{7}{3} = \frac{1}{3}(x-2)^2 + 1$

(5) $(x+1)(x-3) = x^2 - 2x - 3$

$x^2 - 2x$ の部分を平方完成します。$x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1$ となります。

したがって、$x^2 - 2x - 3 = (x-1)^2 - 1 - 3 = (x-1)^2 - 4$

(6) $-2(x-3)(x+6) = -2(x^2 + 3x - 18) = -2x^2 - 6x + 36$

まず、$-2$ でくくります。$-2(x^2 + 3x) + 36$

$x^2 + 3x$ の部分を平方完成します。$x^2 + 3x = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}$ となります。

したがって、$-2(x^2 + 3x) + 36 = -2((x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}) + 36 = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{9}{2} + 36 = -2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{81}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $(x-2)^2 + 3$

(2) $-2(x+1)^2 - 4$

(3) $2(x - \frac{3}{4})^2 - \frac{1}{8}$

(4) $\frac{1}{3}(x-2)^2 + 1$

(5) $(x-1)^2 - 4$

(6) $-2(x + \frac{3}{2})^2 + \frac{81}{2}$