与えられた不定方程式 $5x - 3y = 1$ を満たす全ての整数解 $(x, y)$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた不定方程式 $5x - 3y = 1$ を満たす全ての整数解 $(x, y)$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた方程式 $5x - 3y = 1$ を満たす整数解を1つ見つけます。

例えば、$x=2$, $y=3$ がこの方程式を満たすことが分かります。

つまり、$5(2) - 3(3) = 10 - 9 = 1$ です。

次に、一般解を求めます。

$5x - 3y = 1$ と $5(2) - 3(3) = 1$ の差をとると、

$5x - 3y - (5(2) - 3(3)) = 1 - 1$

$5(x-2) - 3(y-3) = 0$

$5(x-2) = 3(y-3)$

5と3は互いに素なので、$x-2$ は3の倍数、$y-3$ は5の倍数となります。

したがって、$x-2 = 3k$ と $y-3 = 5k$ と置くことができます ($k$ は整数)。

これを解くと、

$x = 3k + 2$

$y = 5k + 3$

となります。

3. 最終的な答え

与えられた方程式 $5x - 3y = 1$ を満たす全ての整数解は、

$x = 3k + 2$

$y = 5k + 3$

（$k$ は任意の整数）です。