授業で行列と行列式の応用として、連立2元1次方程式の解法(逆行列)と、連立3元1次方程式の解法(クラメルの公式)が扱われた。それら以外の行列または行列式の応用例を述べる。

1. 問題の内容

授業で行列と行列式の応用として、連立2元1次方程式の解法(逆行列)と、連立3元1次方程式の解法(クラメルの公式)が扱われた。それら以外の行列または行列式の応用例を述べる。

2. 解き方の手順

行列の応用例として、線形変換が挙げられます。 線形変換は、ベクトル空間から別のベクトル空間への写像であり、ベクトルの加法とスカラー倍を保ちます。 線形変換は行列を用いて表現することができます。

例えば、2次元平面上の点を回転させる線形変換を考えます。 原点を中心に $\theta$ だけ回転させる変換は、次の行列で表現できます。

$R = \begin{pmatrix}

\cos \theta & -\sin \theta \\

\sin \theta & \cos \theta

\end{pmatrix}$

この行列 $R$ をベクトル $\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ に掛けることで、回転後の座標 $\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$ を計算できます。

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

\cos \theta & -\sin \theta \\

\sin \theta & \cos \theta

\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

x \cos \theta - y \sin \theta \\

x \sin \theta + y \cos \theta

\end{pmatrix}$

行列式の応用例としては、ベクトルの張る平行多面体の体積が挙げられます。 例えば、3次元空間において、3つのベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$、$\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$、$\vec{c} = (c_1, c_2, c_3)$ によって張られる平行六面体の体積は、これらのベクトルを成分とする行列の行列式の絶対値に等しくなります。

$V = |\det \begin{pmatrix}

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

c_1 & c_2 & c_3

\end{pmatrix}|$

この体積 $V$ は、行列式の幾何学的な意味を表しています。

3. 最終的な答え

行列の応用例：線形変換 (例: 回転)

行列式の応用例：ベクトルの張る平行多面体の体積