(1) 関数 $f(x) = 3x^2 + 5x - 2$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。 (2) 曲線 $y = 3x^3 - 1$ 上の点 $(1, 2)$ における接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = 3x^2 + 5x - 2$ の導関数 $f'(x)$ を求めよ。

(2) 曲線 $y = 3x^3 - 1$ 上の点 $(1, 2)$ における接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

関数の導関数を求めるには、各項を微分します。

$f(x) = 3x^2 + 5x - 2$

$x^n$ の微分は $nx^{n-1}$ であり、定数の微分は 0 です。

したがって、

$f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(5x) - \frac{d}{dx}(2)$

$f'(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} - 0$

$f'(x) = 6x + 5$

(2)

曲線の接線の方程式を求めるには、まず導関数を求め、その点で微分係数（傾き）を計算します。

$y = 3x^3 - 1$

導関数 $y'$ を求めます。

$y' = \frac{d}{dx}(3x^3 - 1)$

$y' = 3 \cdot 3x^{3-1} - 0$

$y' = 9x^2$

点 $(1, 2)$ における傾き $m$ は、 $x = 1$ を $y'$ に代入して求めます。

$m = y'(1) = 9(1)^2 = 9$

接線の方程式は、点 $(x_1, y_1)$ を通り傾き $m$ の直線の方程式 $y - y_1 = m(x - x_1)$ で表されます。

この場合、 $(x_1, y_1) = (1, 2)$ であり、$m = 9$ なので、接線の方程式は

$y - 2 = 9(x - 1)$

$y - 2 = 9x - 9$

$y = 9x - 7$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 6x + 5$

(2) $y = 9x - 7$