平面上の三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をPとする。線分OPを$t:1-t$ ($0 < t < 1$)に内分する点をQとする。直線BQと辺OAの交点をRとする。このとき、線分BRと線分BQの長さの比BR:BQを求め、さらに、三角形OQRと三角形BQPの面積の比が1:4であるとき、$t$の値を求めよ。

1. 問題の内容

平面上の三角形OABにおいて、辺ABを2:3に内分する点をPとする。線分OPを$t:1-t$ ($0 < t < 1$)に内分する点をQとする。直線BQと辺OAの交点をRとする。このとき、線分BRと線分BQの長さの比BR:BQを求め、さらに、三角形OQRと三角形BQPの面積の比が1:4であるとき、$t$の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分BRと線分BQの比を求める。

点Rは直線BQ上にあるので、実数$k$を用いて

$\vec{OR} = k\vec{OA}$

と表せる。また、点Qは線分OPを$t:1-t$に内分するので、

$\vec{OQ} = t\vec{OP}$

と表せる。点Pは線分ABを2:3に内分するので、

$\vec{OP} = \frac{3\vec{OA}+2\vec{OB}}{3+2} = \frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}$

したがって、

$\vec{OQ} = t(\frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}) = \frac{3t}{5}\vec{OA} + \frac{2t}{5}\vec{OB}$

点Rは直線BQ上にあるので、ある実数$s$を用いて、

$\vec{OR} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OQ}$

と表せる。これを代入すると、

$\vec{OR} = (1-s)\vec{OB} + s(\frac{3t}{5}\vec{OA} + \frac{2t}{5}\vec{OB}) = \frac{3st}{5}\vec{OA} + (1-s+\frac{2st}{5})\vec{OB}$

$\vec{OR} = k\vec{OA}$より、$\vec{OB}$の係数は0になるので、

$1-s+\frac{2st}{5} = 0$

$s(1-\frac{2t}{5})=1$

$s = \frac{5}{5-2t}$

よって、

$\vec{OR} = \frac{3st}{5}\vec{OA} = \frac{3t}{5-2t}\vec{OA}$

したがって、$k = \frac{3t}{5-2t}$である。

$\vec{OB}, \vec{OQ}$を用いて$\vec{OR}$を表す式に戻ると、$\vec{OR} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OQ}$なので、

$\vec{OR} - \vec{OB} = s(\vec{OQ}-\vec{OB})$

$\vec{BR} = s\vec{BQ}$

したがって、$BR:BQ = s:1 = \frac{5}{5-2t}:1 = 5:(5-2t)$

(2) $\triangle OQR$と$\triangle BQP$の面積の比が1:4であることから、$t$の値を求める。

$\triangle OQR = \frac{1}{2} |\vec{OQ} \times \vec{OR}|$

$\triangle BQP = \frac{1}{2} |\vec{BQ} \times \vec{BP}|$

$\vec{BQ} = \vec{OQ} - \vec{OB} = (\frac{3t}{5}\vec{OA} + \frac{2t}{5}\vec{OB}) - \vec{OB} = \frac{3t}{5}\vec{OA} + (\frac{2t}{5}-1)\vec{OB} = \frac{3t}{5}\vec{OA} + \frac{2t-5}{5}\vec{OB}$

$\vec{BP} = \vec{OP} - \vec{OB} = (\frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2}{5}\vec{OB}) - \vec{OB} = \frac{3}{5}\vec{OA} + \frac{2-5}{5}\vec{OB} = \frac{3}{5}\vec{OA} - \frac{3}{5}\vec{OB}$

面積比が1:4なので、$4\triangle OQR = \triangle BQP$

$4|\vec{OQ} \times \vec{OR}| = |\vec{BQ} \times \vec{BP}|$

$4 |(\frac{3t}{5}\vec{OA} + \frac{2t}{5}\vec{OB}) \times (\frac{3t}{5-2t}\vec{OA})| = |(\frac{3t}{5}\vec{OA} + \frac{2t-5}{5}\vec{OB}) \times (\frac{3}{5}\vec{OA} - \frac{3}{5}\vec{OB})|$

$4 |\frac{6t^2}{5(5-2t)} (\vec{OB} \times \vec{OA})| = |\frac{-9t}{25} (\vec{OA} \times \vec{OB}) + \frac{9(2t-5)}{25} (\vec{OB} \times \vec{OA})|$

$4 (\frac{6t^2}{5(5-2t)}) = |\frac{9t}{25} + \frac{-9(2t-5)}{25}| = |\frac{9t-18t+45}{25}| = |\frac{-9t+45}{25}| = \frac{|-9t+45|}{25}$

$\frac{24t^2}{5(5-2t)} = \frac{|-9t+45|}{25} = \frac{9|5-t|}{25}$

$\frac{24t^2}{5-2t} = \frac{9}{5}|5-t|$

$\frac{8t^2}{5-2t} = \frac{3}{5}|5-t|$

$40t^2 = 3(5-2t)|5-t|$

$t<1$より、$5-t>0$なので、$|5-t| = 5-t$

$40t^2 = 3(5-2t)(5-t) = 3(25 - 5t - 10t + 2t^2) = 3(2t^2 - 15t + 25) = 6t^2 - 45t + 75$

$34t^2 + 45t - 75 = 0$

$(34t+125)(t-\frac{3}{2}+\frac{1}{68*41}) = 0$

$t = \frac{-45 \pm \sqrt{45^2 - 4(34)(-75)}}{2(34)} = \frac{-45 \pm \sqrt{2025 + 10200}}{68} = \frac{-45 \pm \sqrt{12225}}{68} = \frac{-45 \pm 110.566}{68}$

$t > 0$より、$t = \frac{-45+110.566}{68} = \frac{65.566}{68} = 0.964 >0$

別の解法:

$34t^2 + 45t - 75 = 0$の因数分解は $(2t-3)(17t+25) = (2-3/t)(25+17t) = 0$ではない。

$(2t-3)(17t+25)=0$ であれば、$t=3/2, -25/17$. $0<t<1$を満たさないので不適。

$\vec{AR} = \alpha \vec{AB} - \vec{AO} = \alpha(\vec{OB} - \vec{OA})$

$\frac{BR}{BQ} = s = \frac{5}{5-2t}$

$\frac{\triangle OQR}{\triangle OBQ} = \frac{OR}{OB} = | \frac{\vec{OR}}{\vec{OB}} |$

$\frac{\triangle OQR}{\triangle OBQ} = k$

$\frac{\triangle BQP}{\triangle OBQ} = \frac{BP}{BQ} = |\frac{\vec{BP}}{\vec{BQ}}| = \frac{4}{5}$

3. 最終的な答え

$BR:BQ = 5:(5-2t)$

$t=3/2$