$a$ は 0 でない定数とする。2次不等式 $x^2 + 3ax + 2a^2 < 0$ について、以下の問いに答える。 (1) この不等式を解け。 (2) この不等式の解がすべて $-3 < x < 6$ に含まれるように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は 0 でない定数とする。2次不等式 $x^2 + 3ax + 2a^2 < 0$ について、以下の問いに答える。

(1) この不等式を解け。

(2) この不等式の解がすべて $-3 < x < 6$ に含まれるように、定数 $a$ の値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不等式 $x^2 + 3ax + 2a^2 < 0$ を解く。

左辺を因数分解すると、 $(x+a)(x+2a) < 0$ となる。

$a$ の符号によって場合分けする。

(i) $a > 0$ のとき、$-2a < -a$ であるから、$-2a < x < -a$

(ii) $a < 0$ のとき、$-a < -2a$ であるから、$-a < x < -2a$

(2) (1)で求めた不等式の解がすべて $-3 < x < 6$ に含まれるように $a$ の値の範囲を求める。

(i) $a > 0$ のとき、$-2a < x < -a$ が $-3 < x < 6$ に含まれるので、 $-3 \le -2a$ かつ $-a \le 6$ となる必要がある。

$-3 \le -2a$ より $2a \le 3$ なので $a \le \frac{3}{2}$

$-a \le 6$ より $a \ge -6$

したがって $0 < a \le \frac{3}{2}$

(ii) $a < 0$ のとき、$-a < x < -2a$ が $-3 < x < 6$ に含まれるので、 $-3 \le -a$ かつ $-2a \le 6$ となる必要がある。

$-3 \le -a$ より $a \le 3$

$-2a \le 6$ より $a \ge -3$

したがって $-3 \le a < 0$

以上より、$-3 \le a < 0$ または $0 < a \le \frac{3}{2}$ となる。

3. 最終的な答え

(1)

$a > 0$ のとき、$-2a < x < -a$

$a < 0$ のとき、$-a < x < -2a$

(2)

$-3 \le a < 0$ または $0 < a \le \frac{3}{2}$