(1) $f'(x) = x^2 + x + 1$ かつ $f(0) = 2$ である関数 $f(x)$ を求めよ。 (2) 定積分 $\int_{-2}^{1} |x^2 - x - 2| dx$ の値を求めよ。

## 問題の回答

1. 問題の内容

(1) $f'(x) = x^2 + x + 1$ かつ $f(0) = 2$ である関数 $f(x)$ を求めよ。

(2) 定積分 $\int_{-2}^{1} |x^2 - x - 2| dx$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

* $f'(x) = x^2 + x + 1$ を積分して $f(x)$ を求める。積分定数を $C$ とおく。

* $f(0) = 2$ の条件を使って積分定数 $C$ の値を決定する。

$f(x) = \int f'(x) dx = \int (x^2 + x + 1) dx = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + C$

$f(0) = \frac{1}{3}(0)^3 + \frac{1}{2}(0)^2 + (0) + C = C$

$f(0) = 2$ より、$C = 2$

したがって、$f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + 2$

(2)

* $|x^2 - x - 2|$ の絶対値を外すために、$x^2 - x - 2$ の符号を調べる。

* $x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$ より、$x^2 - x - 2 = 0$ となるのは $x = -1, 2$ のとき。

* $-2 \le x \le 1$ の範囲で符号を調べると、

* $-2 \le x \le -1$ のとき、$x^2 - x - 2 \ge 0$ なので、$|x^2 - x - 2| = x^2 - x - 2$

* $-1 \le x \le 1$ のとき、$x^2 - x - 2 \le 0$ なので、$|x^2 - x - 2| = -(x^2 - x - 2) = -x^2 + x + 2$

* 積分範囲を分割して定積分を計算する。

$\int_{-2}^{1} |x^2 - x - 2| dx = \int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx + \int_{-1}^{1} (-x^2 + x + 2) dx$

$\int_{-2}^{-1} (x^2 - x - 2) dx = [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 2x]_{-2}^{-1} = (\frac{-1}{3} - \frac{1}{2} + 2) - (\frac{-8}{3} - \frac{4}{2} + 4) = \frac{-1}{3} - \frac{1}{2} + 2 + \frac{8}{3} + 2 - 4 = \frac{7}{3} - \frac{1}{2} = \frac{14 - 3}{6} = \frac{11}{6}$

$\int_{-1}^{1} (-x^2 + x + 2) dx = [-\frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + 2x]_{-1}^{1} = (-\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2) - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 2) = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = -\frac{2}{3} + 4 = \frac{-2 + 12}{3} = \frac{10}{3} = \frac{20}{6}$

$\int_{-2}^{1} |x^2 - x - 2| dx = \frac{11}{6} + \frac{20}{6} = \frac{31}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 + x + 2$

(2) $\frac{31}{6}$