不等式 $\sqrt{x+3} > x+1$ を解きます。

1. 問題の内容

不等式 $\sqrt{x+3} > x+1$ を解きます。

2. 解き方の手順

(1) 根号の中身が0以上である条件:

$x+3 \geq 0$ より $x \geq -3$

(2) $x+1$ の符号によって場合分けします。

(i) $x+1 < 0$ のとき、つまり $x < -1$ のとき:

$\sqrt{x+3} > x+1$ は常に成り立ちます。

ただし、(1)の条件 $x \geq -3$ も考慮すると、 $-3 \leq x < -1$

(ii) $x+1 \geq 0$ のとき、つまり $x \geq -1$ のとき:

両辺を2乗します。

$(\sqrt{x+3})^2 > (x+1)^2$

$x+3 > x^2 + 2x + 1$

$0 > x^2 + x - 2$

$x^2 + x - 2 < 0$

$(x+2)(x-1) < 0$

$-2 < x < 1$

$x \geq -1$ という条件と合わせると、 $-1 \leq x < 1$

(3) (i) と (ii) の結果を合わせます。

$-3 \leq x < -1$ と $-1 \leq x < 1$ を合わせると、 $-3 \leq x < 1$

3. 最終的な答え

$-3 \leq x < 1$