関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ の区間 $m \leq x \leq m+2$ における最小値を $g$ とおく。 (1) $g$ を $m$ を用いて表せ。 (2) $m$ の値がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 + 3x + m$ の区間 $m \leq x \leq m+2$ における最小値を $g$ とおく。

(1) $g$ を $m$ を用いて表せ。

(2) $m$ の値がすべての実数を変化するとき、$g$ の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を平方完成します。

$f(x) = x^2 + 3x + m = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + m$

軸は $x = -\frac{3}{2}$ です。定義域は $m \leq x \leq m+2$ です。

場合分けをして、$g$ を $m$ を用いて表します。

(1) 軸が定義域の中にあるとき ($m \leq -\frac{3}{2} \leq m+2$)、すなわち $-\frac{7}{2} \leq m \leq -\frac{3}{2}$ のとき、

最小値は頂点の $f(-\frac{3}{2}) = -\frac{9}{4} + m$ となります。

$g = -\frac{9}{4} + m$

(2) 軸が定義域の左にあるとき ($-\frac{3}{2} < m$) のとき、

$m > -\frac{3}{2}$ のとき、 $f(m) = m^2 + 3m + m = m^2 + 4m$ となります。

$g = m^2 + 4m$

(3) 軸が定義域の右にあるとき ($m+2 < -\frac{3}{2}$) のとき、すなわち $m < -\frac{7}{2}$ のとき、

$f(m+2) = (m+2)^2 + 3(m+2) + m = m^2 + 4m + 4 + 3m + 6 + m = m^2 + 8m + 10$ となります。

$g = m^2 + 8m + 10$

以上より、$g$ は次のように表されます。

$g = \begin{cases} m^2 + 8m + 10 & (m < -\frac{7}{2}) \\ -\frac{9}{4} + m & (-\frac{7}{2} \leq m \leq -\frac{3}{2}) \\ m^2 + 4m & (m > -\frac{3}{2}) \end{cases}$

(2) $g$ の最小値を求めます。

(1) $m < -\frac{7}{2}$ のとき、$g = m^2 + 8m + 10 = (m+4)^2 - 6$ となり、$m = -4$ で最小値 $-6$ をとります。

$-4 < -\frac{7}{2}$ なので、条件を満たします。

(2) $-\frac{7}{2} \leq m \leq -\frac{3}{2}$ のとき、$g = -\frac{9}{4} + m$ は単調増加なので、$m = -\frac{7}{2}$ で最小値をとります。

$g = -\frac{9}{4} - \frac{7}{2} = -\frac{9}{4} - \frac{14}{4} = -\frac{23}{4} = -5.75$

(3) $m > -\frac{3}{2}$ のとき、$g = m^2 + 4m = (m+2)^2 - 4$ となり、$m = -2$ で最小値 $-4$ をとります。

$-2 > -\frac{3}{2}$ なので、条件を満たします。

上記から、$g$ の最小値は $-6$ です。

3. 最終的な答え

(1) $g = \begin{cases} m^2 + 8m + 10 & (m < -\frac{7}{2}) \\ -\frac{9}{4} + m & (-\frac{7}{2} \leq m \leq -\frac{3}{2}) \\ m^2 + 4m & (m > -\frac{3}{2}) \end{cases}$

(2) $-6$