次の連立不等式を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ。 $x^2 + y^2 - 2x - 4 < 0$ $x - 2y - 3 < 0$

1. 問題の内容

次の連立不等式を満たす整数の組 $(x, y)$ をすべて求めよ。

$x^2 + y^2 - 2x - 4 < 0$

$x - 2y - 3 < 0$

2. 解き方の手順

まず、一つ目の不等式を変形する。

$x^2 - 2x + y^2 - 4 < 0$

$(x^2 - 2x + 1) + y^2 < 5$

$(x-1)^2 + y^2 < 5$

これは、中心 $(1, 0)$ 、半径 $\sqrt{5}$ の円の内部を表す。

次に、二つ目の不等式を変形する。

$x - 2y - 3 < 0$

$x - 3 < 2y$

$y > \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$

これは、直線 $y = \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ より上の領域を表す。

$(x-1)^2 + y^2 < 5$ を満たす整数 $(x, y)$ は次の通り。

$x = -1$ のとき、$(x-1)^2 = 4$ だから $y^2 < 1$。よって、$y = 0$。

$x = 0$ のとき、$(x-1)^2 = 1$ だから $y^2 < 4$。よって、$y = -1, 0, 1$。

$x = 1$ のとき、$(x-1)^2 = 0$ だから $y^2 < 5$。よって、$y = -2, -1, 0, 1, 2$。

$x = 2$ のとき、$(x-1)^2 = 1$ だから $y^2 < 4$。よって、$y = -1, 0, 1$。

$x = 3$ のとき、$(x-1)^2 = 4$ だから $y^2 < 1$。よって、$y = 0$。

次に、$y > \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}$ を満たすものを調べる。

$x = -1$ のとき、$y > \frac{1}{2}(-1) - \frac{3}{2} = -2$。よって、$y = 0$ は条件を満たす。

$x = 0$ のとき、$y > \frac{1}{2}(0) - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2}$。よって、$y = 0, 1$ は条件を満たす。

$x = 1$ のとき、$y > \frac{1}{2}(1) - \frac{3}{2} = -1$。よって、$y = 0, 1, 2$ は条件を満たす。

$x = 2$ のとき、$y > \frac{1}{2}(2) - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}$。よって、$y = 0, 1$ は条件を満たす。

$x = 3$ のとき、$y > \frac{1}{2}(3) - \frac{3}{2} = 0$。よって、条件を満たす $y$ は存在しない。

したがって、条件を満たす整数の組 $(x, y)$ は、

$(-1, 0), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1)$

3. 最終的な答え

$(-1, 0), (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, 0), (2, 1)$