(1) 以下の命題A, B, C, Dの真偽、および命題間の関係を答える問題。 * 命題A: $a^2 - 3a + 2 = 0$ ならば $a=1$ である * 命題B: $a^2 - 3a + 2 \neq 0$ ならば $a \neq 1$ である * 命題C: $|x-5| < 1$ ならば $x^2 > 4$ である * 命題D: $x^2 \le 4$ ならば $|x-5| \ge 1$ である (2) 条件 $x^2 - 5x + 6 = 0$ の否定を答える問題。

1. 問題の内容

(1) 以下の命題A, B, C, Dの真偽、および命題間の関係を答える問題。

* 命題A: $a^2 - 3a + 2 = 0$ ならば $a=1$ である

* 命題B: $a^2 - 3a + 2 \neq 0$ ならば $a \neq 1$ である

* 命題C: $|x-5| < 1$ ならば $x^2 > 4$ である

* 命題D: $x^2 \le 4$ ならば $|x-5| \ge 1$ である

(2) 条件 $x^2 - 5x + 6 = 0$ の否定を答える問題。

2. 解き方の手順

(1)

* (i) 命題Aの真偽

$a^2 - 3a + 2 = 0$ を解くと、$(a-1)(a-2) = 0$ より $a = 1, 2$。$a=2$ のとき、$a=1$ とはならないので、命題Aは偽。

* (ii) 命題Bについて

命題Bは命題Aの対偶である。対偶は元の命題と真偽が一致する。命題Aは偽なので、命題Bも偽。

* (iii) 命題Cの真偽

$|x-5| < 1$ より、$-1 < x-5 < 1$。よって $4 < x < 6$。この範囲の $x$ について $x^2 > 4$ は常に成り立つので、命題Cは真。

* (iv) 命題Dについて

$x^2 \le 4$ より、$-2 \le x \le 2$。

$|x-5| \ge 1$ より、$x-5 \ge 1$ または $x-5 \le -1$。よって $x \ge 6$ または $x \le 4$。

$x^2 \le 4$ かつ $|x-5| < 1$ となる $x$ が存在すれば、命題Dは偽となる。

$x=-2$のとき、$x^2=4$であり、$|x-5|=|-2-5|=7\ge1$なので、命題Dは真である。

また、命題Dは命題Cの逆である。

(2) 条件 $x^2 - 5x + 6 = 0$ の否定

$x^2 - 5x + 6 = 0$ は $(x-2)(x-3) = 0$ となるので、$x=2$ または $x=3$。

この否定は、$x \neq 2$ かつ $x \neq 3$ となる。

3. 最終的な答え

ア: ① (偽)

イ: ④ (対偶)

ウ: ① (偽)

エ: ⓪ (真)

オ: ② (逆)

カ: ⓪ (真)

キ: ③ ($x \neq 2$ かつ $x \neq 3$)